1.  BÀI TOÁN CHIA BA MỘT GÓC : bài toán dùng thước kẻ và compa chia một góc tuỳ ý thành ba phần bằng nhau. Đây là bài toán dựng hình nổi tiếng thời cổ Hi Lạp. Về lí thuyết, bài toán được đưa về việc biểu diễn bằng căn thức bậc hai nghiệm của một phương trình bậc ba có dạng: x3 + px + q = 0. Song vấn đề này chỉ thực hiện được khi phương trình trên có nghiệm hữu tỉ. Từ đó, suy ra BTCBMG nói chung là không giải được.

           2. CẦU PHƯƠNG HÌNH TRÒN: bài toán dùng thước và compa dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn đã cho. Cũng như bài toán chia ba một góc và bài toán gấp đôi khối lập phương, bài toán này không giải được. CPHT đưa đến việc dựng một đoạn thẳng có độ dài bằng ; r là bán kính hình tròn đã cho. Ta không thể dựng x³ – 2 = 0. Song vì bài toán này không giải được nên BTGĐKLP cũng không giải được.

         3. BÀI TOÁN CẦU VIÊN HÌNH VUÔNG : bài toán dựng bằng thước kẻ và compa một hình tròn có diện tích bằng diện tích một hình vuông cho trước.  Cũng như bài toán cầu phương hình tròn, bài toán này không giải được.

        4. BÀI TOÁN GẤP ĐÔI KHỐI LẬP PHƯƠNG: bài toán dùng thước kẻ và compa dựng một khối lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của một khối lập phương cho trước. Nếu cạnh của khối lập phương đã cho có độ dài 1 thì bài toán trên được đưa về biểu diễn bằng căn thức bậc hai nghiệm của phương trình x³ – 2 = 0. Song vì bài toán này không giải được nên BTGĐKLP cũng không giải được.  

         5. BÀI TOÁN BẢY CÂY CẦU Euler    

còn gọi là Bảy cầu ở Königsberg nảy sinh từ nơi chốn cụ thể.  Thành phố Königsberg, Đức (nay là Kaliningrad, Nga) nằm trên sông Pregel, bao gồm hai hòn đảo lớn nối với nhau và với đất liền bởi bảy cây cầu.  Câu hỏi đặt ra là có thể đi theo một tuyến đường mà đi qua mỗi cây cầu đúng một lần rồi quay lại điểm xuất phát hay không.  Năm 1736, Leonhard Euler đã chứng minh rằng điều đó là không thể được. Người ta kể rằng, khoảng năm 1750, vào các ngày Chủ nhật,  những người dân giàu có và học thức của thành phố  đã đi dạo quanh để tìm cách giải bài này, nhưng đây có lẽ chỉ là một truyền thuyết   

Lời giải của Euler

Để chứng minh kết quả, Euler đã phát biểu bài toán bằng các thuật ngữ của lý thuyết đồ thị. Ông loại bỏ tất cả các chi tiết ngoại trừ các vùng đất và các cây cầu, sau đó thay thế mỗi vùng đất bằng một điểm, gọi là đỉnh hoặc nút, và thay mỗi cây cầu bằng một đoạn nối, gọi là cạnh hoặc liên kết. Cấu trúc toán học thu được được gọi là một đồ thị.

 →  

                 →  

                 

Hình thù của đồ thị có thể bị bóp méo theo đủ kiểu nhưng không làm đồ thị bị thay đổi, miễn là các liên kết giữa các nút giữ nguyên. Việc một liên kết thẳng hay cong, một nút ở bên phải hay bên trái một nút khác là không quan trọng.Euler nhận ra rằng bài toán có thể được giải bằng cách sử dụng bậc của các nút. Bậc của một nút là số cạnh nối với nó; trong đồ thị các cây cầu Königsberg, ba nút có bậc bằng 3 và một nút có bậc 5. Euler đã chứng minh rằng một chu trình có dạng như mong muốn chỉ tồn tại khi và chỉ khi không có nút bậc lẻ. Một đường đi như vậy được gọi là một chu trình Euler. Do đồ thị các cây cầu Königsberg có bốn nút bậc lẻ, nên nó không thể có chu trình Euler.Có thể sửa đổi bài toán để yêu cầu một đường đi qua tất cả các cây cầu nhưng không cần có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Đường đi như vậy được gọi là một đường đi Euler. Một đường đi như vậy tồn tại khi và chỉ khi đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ. (Như vậy điều này cũng không thể đối với bảy cây cầu ở Königsberg.)

Ý nghĩa của bài toán đối với lịch sử toán học

Trong lịch sử toán học, lời giải của Euler cho bài toán bảy cây cầu ở Königsberg được coi là định lý đầu tiên của lý thuyết đồ thị, ngành nghiên cứu mà nay được coi là một nhánh của toán học tổ hợp (combinatorics), tuy các bài toán tổ hợp đã được quan tâm đến từ sớm hơn rất nhiều.Ngoài ra, nhận xét của Euler rằng thông tin quan trọng là số cây cầu và danh sách các vùng đất ở đầu cầu (chứ không phải vị trí chính xác của chúng) đã là dấu hiệu cho sự phát triển của ngành tôpô học. Sự khác biệt giữa sơ đồ thực và sơ đồ đồ thị là một ví dụ tốt rằng tôpô học không quan tâm đến hình thù cứng nhắc của các đối tượng.

Hoàng Hồng tổng hợp