Số hữu tỉ - THƯ VIỆN TOÁN-LÝ-CNTT

Chân trời tri thức

"DẠY TỨC LÀ HỌC HAI LẦN." - G.Guibe

Chào mừng quý vị đến với THƯ VIỆN TOÁN-LÝ-CNTT - Hoàng Việt Hồng.

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tư liệu của Thư viện về máy tính của mình.

Nếu chưa đăng ký, hãy đăng ký thành viên tại đây hoặc xem phim hướng dẫn tại đây

Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay ô bên phải.

Gốc > Lịch sử Toán học >

Tạo bài viết mới Số hữu tỉ

Trong toán học, số hữu tỉ là các số thực x có thể biểu diễn dưới dạng phân số (thương) a/b, trong đó a và b là các số nguyên, với b khác không.

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n}: m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$

Khi biểu diễn số hữu tỷ theo hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ:

2/25 = 0.08

5/7 = 0.71428571428571428571428571428571... = 0.(714285)

24/17 = 1.4117647058823529411764705882353... = 1.(4117647058823529)

Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt qua giá trị tuyệt đối của b. Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.

Các số thực không phải là số hữu tỷ được gọi là các số vô tỷ.

Tuy nhiên, tập hợp các số hữu tỷ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các phân số p/q,vì mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Chẳng hạn các phân số 1/3,2/6,3/9 ... cùng biểu diễn một số hữu tỷ.

Số học trên tập các số hữu tỷ

Hai phân số $\frac {a} {b}$ và $\frac {c} {d}$ là bằng nhau nếu a.d=b.c.
Quy tắc cộng, trừ, nhân và chia các số hữu tỷ viết dưới dạng phân số:

$\frac {a} {b}+\frac {c} {d}=\frac {ad+bc} {bd}$

$\frac {a} {b}-\frac {c} {d}=\frac {ad-bc} {bd}$

$\frac {a} {b}.\frac {c} {d}=\frac {a.c} {b.d}$

$\frac {a} {b}/\frac {c} {d}=\frac {a.d} {b.c}$

Nếu $\frac {a} {b} = \frac {c} {d}$ thì:

$\frac {a} {b} = \frac {c} {d} = \frac {a+c} {b+d} = \frac {a-c} {b-d}$

Muốn tìm giá trị phân số $\frac {a} {b}$ của một số m, ta lấy m × $\frac {a} {b}$ .

Muốn tìm một số biết giá trị phân số $\frac {a} {b}$ của nó bằng m, ta lấy m ÷ $\frac {a} {b}$

Số hữu tỷ trong quan hệ với các tập hợp số khác

Các tập hợp số

$\mathbb N$ : Tập hợp số tự nhiên

$\mathbb Z$ : Tập hợp số nguyên

$\mathbb Q$ : Tập hợp số hữu tỉ

$\mathbb R$ : Tập hợp số thực

$\mathbb I = \R \setminus \mathbb Q$ : Tập hợp số vô tỉ

Ta có $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$

Xây dựng tập các số hữu tỷ từ tập số nguyên

Trong toán học hiện đại, người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỷ như trường các thương của $\mathbb{Z}$ .

Xét tập tích Decaters:

$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^*$ = $\{(a ; b)| a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* \}$

Trên đó xác định một quan hệ tương đương:

$\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right ) \Leftrightarrow ad = bc$

lớp tương đương của cặp (a, b) được ký hiệu là a/p và gọi là thương của a cho b.

$a/b = {\left [ (a,b) \right]}_{\sim}$

Tập các lớp này (tập thương) được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là $\mathbb Q$ . Trên tập $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^*$ định nghĩa các phép toán:

$\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)$

$\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)$

Khi đó nếu $\left(a, b \right)\sim \left(a', b'\right)$ và $\left(c, d\right) \sim \left(c', d'\right)$

thì $\left(a, b \right)+\left(c, d\right) \sim \left(a', b'\right)+\left(c', d'\right)$ ;

và $\left(a, b \right)\times \left(c, d\right) \sim \left(a', b'\right) \times \left(c', d'\right)$ .

Do đó các phép toán trên có thể được chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghia là tập $\mathbb{Q}$ .

Để xem $\mathbb Z$ là bộ phận của $\mathbb Q$ ta nhúng $\mathbb Z$ vào $\mathbb Q$ nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên n ứng với lớp n/1 trong $\mathbb Q$ .

Nguồn: Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

XEM CÁC BÀI KHÁC

Nhắn tin cho tác giả

Hoàng Việt Hồng @ 09:13 13/07/2009
Số lượt xem: 4090

Số lượt thích: 0 người

Số nguyên tố (06/07/09)
Lịch sử Số tự nhiên (06/07/09)
Lịch sử các loại Số (06/07/09)
Câu chuyện về những con số (05/07/09)
Vài nét về lịch sử các ký hiệu toán học - Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học (30/06/09)

Học mà không suy nghĩ...

"Học mà không suy nghĩ thì vô ích; Suy nghĩ mà không học thì có hiểm nghèo". - Khổng Tử

CHÂN TRỜI TRI THỨC

"CHÂN TRỜI TRI THỨC- HƯỚNG TỚI TƯƠNG LAI" Hoàng Việt Hồng, Trường THCS Minh Hòa, Hữu Lũng, Lạng Sơn.

Thời tiết Hữu Lũng

Binh boong

Báo mới

Ngày tháng thoi đưa

Máy tính bỏ túi

Tài nguyên dạy học

Cười hở mười...........

Các ý kiến mới nhất

Ảnh ngẫu nhiên

Thống kê

Ai đang thăm nhà tôi

Hỗ trợ trực tuyến

Sắp xếp dữ liệu

Chân trời tri thức

Chào mừng quý vị đến với THƯ VIỆN TOÁN-LÝ-CNTT - Hoàng Việt Hồng.

Tạo bài viết mới Số hữu tỉ

Số học trên tập các số hữu tỷ

Số hữu tỷ trong quan hệ với các tập hợp số khác

Xây dựng tập các số hữu tỷ từ tập số nguyên

Học mà không suy nghĩ...

CHÂN TRỜI TRI THỨC

Thời tiết Hữu Lũng

Đăng nhập

Binh boong

Báo mới

Ngày tháng thoi đưa

Máy tính bỏ túi

Tài nguyên dạy học

Cười hở mười...........

Các ý kiến mới nhất

Ảnh ngẫu nhiên

Thống kê

Ai đang thăm nhà tôi

Hỗ trợ trực tuyến

Sắp xếp dữ liệu

Chân trời tri thức

Chào mừng quý vị đến với THƯ VIỆN TOÁN-LÝ-CNTT - Hoàng Việt Hồng.

Tạo bài viết mới Số hữu tỉ

Số học trên tập các số hữu tỷ

Số hữu tỷ trong quan hệ với các tập hợp số khác

Xây dựng tập các số hữu tỷ từ tập số nguyên

Học mà không suy nghĩ...

CHÂN TRỜI TRI THỨC